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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.15. Determinar el conjunto dominio, más amplio posible en reales, para que las siguientes fórmulas sean funciones.
e) $f(z) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}$

Respuesta

Vamos a determinar el dominio de la función \(f(z) = \frac{\sqrt{z-2}}{\sqrt{z+2}}\) utilizando las tres preguntas para determinar el dominio: 1. ¿Hay divisiones? Sí, hay una división en la función! 2. ¿Hay raíces pares? Sí, hay una raíz cuadrada en el numerador y en el denominador! 3. ¿Hay logaritmos? No hay! Ahora, para encontrar el dominio, debemos considerar todas las restricciones. Primero, para el numerador: \[z - 2 \geq 0\] \[z \geq 2\] Y ahora, para el denominador: \[z + 2 > 0\] \[z > -2\]
(Fijate que le pedimos que sea mayor estricto a cero, porque el denominador no puede ser cero, estamos aplicando también esa restricción)
Perfecto, fijate entonces que en el numerador va a estar todo bien siempre y cuando $z \geq 2$, mientras que el denominador sólo necesita que $z > -2$. Pero ojo que estas condiciones se tienen que cumplir en simultáneo! Entonces, el dominio resulta $[2, +\infty)$. Si $z$ pertenece a ese conjunto, lo de adentro de todas las raíces va a ser mayor o igual a cero, y el denominador no va a ser cero, así que perfecto =)

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Avatar Juana 17 de agosto 10:33
Hola Flor ! No entiendo por qué en el dominio el 2 queda positivo
 
Avatar Flor Profesor 17 de agosto 11:00
@Juana Hola Juana! Fijate que acá tenemos dos restricciones, y tenemos que tener en cuenta ambas. El denominador no tiene problema con ningún $x$ que sea mayor estricto que $-2$, pero el numerador si, sólo admite $x$ que sean mayores o iguales a $2$. 

Fijate que si, por ejemplo, vos quisieras evaluar $f(0)$, te queda en el número negativo adentro de la raíz... entonces, no importa que el denominador "no tenga problema", el numerador sigue teniendo problema y entonces $f(0)$ no está definido, no lo podemos hacer. 

Si vos decís que el dominio es $[2,+\infty)$, te aseguras que el denominador no tenga problema (porque con cualquier $x$ mayor a -2 andaría bien, así que en particular si vale 2 o más, estamos perfecto) y además no va a tener problema el numerador :)

Queda más claro ahora? 
Avatar Juana 18 de agosto 18:41
ahh ya entendi! no me di cuenta que en el numerador había una resta! Gracias Flor
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